Question

【題目】某單位生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，需要資金和場地，生產(chǎn)每噸A種產(chǎn)品和生產(chǎn)每噸B種產(chǎn)品所需資金和場地的數(shù)據(jù)如表所示：

資源 產(chǎn)品	資金（萬元）	場地（平方米）
A	2	100
B	35	50

現(xiàn)有資金12萬元，場地400平方米，生產(chǎn)每噸A種產(chǎn)品可獲利潤3萬元；生產(chǎn)每噸B種產(chǎn)品可獲利潤2萬元，分別用x，y表示計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的噸數(shù)．
（1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）問A、B兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少噸，才能產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為： 即

該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為下圖的陰影部分：

（2）解：設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y．

將其變形為 ，這是斜率為 ，隨z變化的一族平行直線， 為直線在y軸上的截距，當(dāng) 取最大值時，z的值最大．

因為x，y滿足約束條件，

所以當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過可行域上的點M時，截距 最大，即z最大，

解方程組 得點M的坐標(biāo)（3，2），

∴zmax=3×3+2×2=13．

答：生產(chǎn)A種產(chǎn)品3噸、B種產(chǎn)品2噸時，利潤最大為13萬元．

【解析】（1）利用已知條件直接列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；（2）寫出目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃的知識，求解目標(biāo)函數(shù)的最值即可．