如圖，A是兩條平行直線之間的一定點，且點A到兩條平行直線的距離分別為AM=1，AN=
3
．設(shè)△ABC，AC⊥AB，且頂點B、C分別在兩條平行直線上運動，則△ABC面積的最小值為
 
，
1
AB
+
3
AC
的最大值為
 
．
考點：平面向量的基本定理及其意義
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：要求△ABC的面積，想著先求AB，AC，根據(jù)條件設(shè)∠MAB=θ，則∠CAN=
π
2
-θ，AB=
1
cosθ
，AC=
3
sinθ
，從而便能求出S△ABC=
3
2sinθcosθ
=
3
sin2θ
，所以sin2θ=1時面積最�。畬B，AC分別帶入
1
AB
+
3
AC
即可求得最大值．
解答： 解：設(shè)∠MAB=θ（0＜θ＜
π
2
）則：∠CAN=
π
2
-θ，AB=
1
cosθ
，AC=
3
cos(
π
2
-θ)
=
3
sinθ
；
∴S△ABC=
1
2
•
1
cosθ
•
3
sinθ
=
3
sin2θ
≥
3
；
當sin2θ=1，θ=
π
4
時取等號．
∴△ABC面積的最小值為：
3
．
1
AB
+
3
AC
=cosθ+sinθ=
2
sin(θ+
π
4
)≤
2
；
當θ+
π
4
=
π
2
，θ=
π
4
時取等號．
∴
1
AB
+
3
AC
的最大值為：
2
．
故答案為：
3
，
2
．
點評：設(shè)∠MAB=θ，并將AB，AC表示出來是求解本題的關(guān)鍵．本題考查直角三角形邊和角的關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的最大值．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a2=5，a6=21，記數(shù)列{
1
an
}的前n項和為Sn，
（Ⅰ）數(shù)列{an}的通項an=
 
；
（Ⅱ）若S2n+1-Sn≤
m
15
對n∈N*恒成立，則正整數(shù)m的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x，y∈R+且x+y=2，則
2
x
+
1
y
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2-x(x≥3)
f(x+1)(x＜3)
，則f（2）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=|sin（2x+
π
3
）-1|的最小正周期是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）給出下列命題：
①空間向量
a
，
b
，
c
，若
a
=
b
且
b
=
c
，則必有
a
=
c
；
②
a
，
b
為空間兩個向量，若|
a
|=|
b
|，則
a
=
b
；
③若
a
∥
b
，則表示
a
與
b
的有向線段所在直線平行．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A（3，
3
），O是原點，點P（x，y）的坐標滿足
3
x-y≤0
x-
3
y+2≥0
y≥0
，則
（Ⅰ）
OA
•
OP
|
OA
|
 的最大值為
 
；
（Ⅱ）
OA
•
OP
|
OP
|
的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f（x）=x2+2x+1，x∈[-2，2]的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點．若
AD
•
BE
=0，則AB的長為
 
，AE的長為
 
．

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同步練習(xí)冊答案