Question

在平行四邊形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E為CD的中點．若

AD

•

BE

=0，則AB的長為

 

，AE的長為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：延長BE交AD的延長線于點F．由

AD

•

BE

=0，可得

AD

⊥

BE

．即AF⊥BF．由∠BAD=60°，可得∠ABF=30°=∠DEF，設DF=x，又E為DC的中點，則DE=2x，AB=4x．利用含30°的直角三角形的三邊關系，勾股定理即可得出．

解答： 解：如圖所示，
延長BE交AD的延長線于點F．
∵

AD

•

BE

=0，∴

AD

⊥

BE

．
∴AF⊥BF．
∵∠BAD=60°，∴∠ABF=30°=∠DEF，
設DF=x，又E為DC的中點，則DE=2x，AB=4x．
∴4x=2（1+x），解得x=1．
∴AB=4．
在Rt△AEF中，AF=2，EF=

3

，
∴AE=

AF2+EF2

=

7

．
故答案分別為：4，

7

．

點評：本題考查了向量垂直與數量積的關系、含30°的直角三角形的三邊關系，勾股定理、平行四邊形的性質，考查了推理能力，屬于基礎題．