Question

對(duì)任意x，y滿足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）不恒為0
（1）證明：f（x）＞0
（2）當(dāng)x＞0，f（x）＞1，證明凼數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f（0），再有x=

x

2

+

x

2

，即可證得對(duì)任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）由題設(shè)條件對(duì)任意x₁、x₂在所給區(qū)間內(nèi)比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可．

解答： 解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；
又對(duì)于任意x∈R，f（x）=f（

x

2

+

x

2

）=[f（

x

2

）]2≥0，又f（

x

2

）≠0，∴f（x）＞0，
（2）任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
由題設(shè)x＞0時(shí)，f（x）＞1，可得f（x₂-x₁）＞1，
f（x₂）=f（x₁）f（x₂-x₁）⇒f（x₂）÷f（x₁）=f（x₂-x₁）＞1，
又f（

1

2

x₁+

1

2

x₁）=f（

1

2

x₁）f（

1

2

x₁）=f ²（

1

2

x₁）≥0⇒f（x₁）≥0，
故有f（x₂）＞f（x₁）．
所以 f（x）是R上增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查用賦值法求函數(shù)值證明函數(shù)的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性，此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問(wèn)題的組合來(lái)．