Question

2．已知命題p：對(duì)?x∈R，sinx+cosx＜m恒成立，命題q：已知f（x）=2-$\frac{1}{x}$（x＞0），存在實(shí)數(shù)a，b，使定義域?yàn)椋╝，b）時(shí)，值域?yàn)椋╩a，mb）
（1）命題p為真，求m的范圍；
（2）命題q為真，求m的范圍；
（3）若p∧q為假，p∨q為真，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出sinx+cosx的最大值，可得命題p為真時(shí)m的范圍；
（2）命題q為真，即2-$\frac{1}{x}$=mx有兩個(gè)不等的正根，進(jìn)而可得m的范圍；
（3）若p∧q為假，p∨q為真，則p，q一真一假，進(jìn)而可得m的范圍．

解答 解：（1）sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
若命題p：對(duì)?x∈R，sinx+cosx＜m恒成立為真命題，
則m＞$\sqrt{2}$，
（2）f（x）=2-$\frac{1}{x}$（x＞0）為增函數(shù)，
若存在實(shí)數(shù)a，b，使定義域?yàn)椋╝，b）時(shí)，值域?yàn)椋╩a，mb）
則2-$\frac{1}{x}$=mx有兩個(gè)不等的正根，
即$\left\{\begin{array}{l}4-4m＞0\\ m＞0\end{array}\right.$，
解得：0＜m＜1，
故命題q為真時(shí)，0＜m＜1，
（3）若p∧q為假，p∨q為真，則p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}m＞\sqrt{2}\\ m≤0，或m≥1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}m≤\sqrt{2}\\ 0＜m＜1\end{array}\right.$
解得：0＜m＜1，或m＞$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．