Question

11．已知直線y=-x+m與圓x²+y²=1交于A，B兩點(diǎn)，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=1，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實數(shù)m的值為±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，設(shè)$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，由|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=1，可得：cosθ=$-\frac{1}{2}$，由余弦定理求出AB長，進(jìn)而求出圓心到直線的距離，代入點(diǎn)到直線距離公式，可得實數(shù)m的值．

解答 解：∵直線y=-x+m與圓x²+y²=1交于A，B兩點(diǎn)，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
設(shè)$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|²=$\overrightarrow{OA}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$²=2+2cosθ=1，
∴cosθ=$-\frac{1}{2}$，
則AB=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cosθ}$=$\sqrt{3}$，
則圓心到AB的距離d=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{\left|m\right|}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：±$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，向量的模，向量的夾角，點(diǎn)到直線的距離公式，難度中檔．