Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₃=9，且a_n=a_n-1+λn-1（n≥2）．
（ I）求λ的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（ II）設(shè)${b_n}={（-1）^n}•（{a_n}+n）$，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_2n．

Answer 1

分析 （I）a₁=1，a₃=9，且a_n=a_n-1+λn-1（n≥2），可得a₂=2λ，a₃=5λ-1=9，解得λ．可得a_n-a_n-1=2n-1（n≥2）．利用“累加求和”方法即可得出．
（II）${b_n}={（-1）^n}•（{a_n}+n）$=（-1）ⁿ（n²+n），可得b_2n-1+b_2n=-[（2n-1）²+（2n-1）]+[（2n）²+2n]=4n．即可得出S_2n．

解答 解：（I）∵a₁=1，a₃=9，且a_n=a_n-1+λn-1（n≥2），∴a₂=2λ，a₃=5λ-1=9，解得λ=2．
∴a_n-a_n-1=2n-1（n≥2）．
∴a_n=（2n-1）+（2n-3）+…+3+1=$\frac{n（2n-1+1）}{2}$=n²．
（II）${b_n}={（-1）^n}•（{a_n}+n）$=（-1）ⁿ（n²+n），
b_2n-1+b_2n=-[（2n-1）²+（2n-1）]+[（2n）²+2n]=4n．
S_2n=4×$\frac{n（n+1）}{2}$=2n²+2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、分組求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．