Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），則a₂₀₀₉的值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x₂）-f（x₁）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義推斷出函數(shù)為減函數(shù)．根據(jù)f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得a_n+1-a_n=2，進(jìn)而可判斷出{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項公式求得a_n．由此能求出結(jié)果．

解答： 解：令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由題意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a₁=f（0）=1．
當(dāng)x＞0時，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，進(jìn)而得0＜f（x）＜1．
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₂）-f（x₁）
=f（x₁+（x₂-x₁））-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），所以y=f（x）是R上的減函數(shù)．
由f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，
所以f（a_n+1-a_n-2）=f（0）．
因為y=f（x）是R上的減函數(shù)，所以a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2，
所以{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
所以a₂₀₀₉=2×2009-1=4017．
故答案為：4017．

點評：本題主要考查數(shù)列的第2009項的求法，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，靈活利用函數(shù)的性質(zhì)來解決數(shù)列的問題．