Question

已知直線l：mx+ny=1與曲線C：

x= 1 2 cos? y= 1 2 sin?

（?為參數(shù)）無公共點，則過點（m，n）的直線與曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共點的個數(shù)為

2

．

Answer 1

分析：將曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程為：4x²+9y²=36，依題意，直線l與圓

x= 1 2 cos? y= 1 2 sin?

相離，從而可知m²+n²＜4，數(shù)形結(jié)合即可求得過點（m，n）的直線與曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共點的個數(shù)．

解答：解：∵直線l：mx+ny=1與曲線C：

x= 1 2 cos? y= 1 2 sin?

（?為參數(shù)）即x²+y²=

1

4

無公共點，
∴直線l：mx+ny=1與圓x²+y²=

1

4

相離，
∴圓心（O，O）到直線l的距離d大于半徑

1

2

，
即

1

m2+n2

＞

1

2

，
∴m²+n²＜4．
又曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的普通方程為：4x²+9y²=36，即

x2

9

+

y2

4

=1，
由圖知，過點（m，n）的直線與曲線ρ²=

36

4cos2θ+9sin2θ

的公共點的個數(shù)為2個．
故答案為：2．

點評：本題考查圓的參數(shù)方程、橢圓的極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化．考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合應用，屬于難題．