Question

設(shè)0＜|

a

|≤2，函數(shù)f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|的最大值為0，最小值為-4，且

a

與

b

的夾角為45°，求|

a

+

b

|．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可得f（x）=-（sinx+

| a |

2

）²+

| a |2

4

+1-|

b

|，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得|

a

|=|

b

|=2，代入向量的模長公式計(jì)算可得．

解答： 解：f（x）=cos²x-|

a

|sinx-|

b

|
=-sin²x-|

a

|sinx+1-|

b

|
=-（sinx+

| a |

2

）²+

| a |2

4

+1-|

b

|，
∵0＜|

a

|≤2，∴-1≤-

| a |

2

＜0，
由二次函數(shù)可知當(dāng)sinx=-

| a |

2

時(shí)，f（x）取最大值

| a |2

4

+1-|

b

|=0，
當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）取最小值-|

a

|-|

b

|=-4，
聯(lián)立以上兩式可得|

a

|=|

b

|=2，
又∵

a

與

b

的夾角為45°，
∴|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

22+2×2×2× 2 2 +22

=

8+4 2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及二次函數(shù)的最值和模長公式，屬基礎(chǔ)題．