Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{2π}{3}$對(duì)稱，它的周期為π，則下列說法正確是③．（填寫序號(hào)）
①f（x）的圖象過點(diǎn)$（{0，\frac{3}{2}}）$；
②f（x）在$[{\frac{π}{12}，\frac{2π}{3}}]$上單調(diào)遞減；
③f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心是$（{\frac{5π}{12}，0}）$；
④將f（x）的圖象向右平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=2sinωx的圖象．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)和周期公式求解出ω，φ，可得f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷可得答案．

解答 解：由題意，周期為π，即T=$\frac{2π}{ω}=π$，可得ω=2．則f（x）=2sin（2x+φ）
圖象關(guān)于直線$x=\frac{2π}{3}$對(duì)稱，可得2×$\frac{2π}{3}$+φ=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
則f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
當(dāng)x=0時(shí)，可得f（0）=1，圖象過點(diǎn)（0，1），∴①不對(duì)．
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ．
可得f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上單調(diào)遞減；∴②不對(duì)．
當(dāng)x=$\frac{5π}{12}$時(shí)，可得f（$\frac{5π}{12}$）=0，圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，0）對(duì)稱，∴③對(duì)．
將f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度得到：2sin（2x$-\frac{π}{6}$），∴④不對(duì)．
故答案為③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用已知條件求出f（x）的解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．