Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（其中a，b∈R），
（1）若當(dāng)x∈[-1，1]，f（x）≤0恒成立，求

b-5

a-2

的取值范圍；
（2）若a∈[-1，1]，b∈[-1，1]，求f（x）無零點的概率；
（3）若對于任意的正整數(shù)k，當(dāng)x=

55…5

k個5

時，都有f(x)=

55…5

2k個5

成立，則稱這樣f（x）是K₂函數(shù)，現(xiàn)有函數(shù)g(x)=

14

5

x2+(a+2)x+b-f(x)，試判斷g（x）是不是K₂函數(shù)？并給予證明．?

Answer 1

（1）據(jù)題意：

f(-1)≤0 f(1)≤0

∴

a-b+1≤0 a+b+1≤0

可行域如圖

b-5

a-2

的幾何意義是定點P（2，5）到區(qū)域內(nèi)的點Q（a，b）連線的斜率k，

b-5

a-2

的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）當(dāng)f（x）有零點時，a²≥4b，滿足條件為

-1≤a≤1 -1≤b≤1 a2≥4b

由拋物線的下方與a=±1，b=-1圍成的區(qū)域面積，S1=

∫

1-1

(

1

4

a2+1)da=(

1

12

a3+a)

|

1-1

=

13

6

，
由直線a=±1，b=±1圍成的區(qū)域面積S₂=4，
故f（x）有零點的概率P=

S1

S2

=

13

24

，∴f（x）無零點的概率為

.

P

=1-P=

11

24

；
（3）g（x）是K₂函數(shù)，
證明：g(x)=

9

5

x2+2x符合條件，
因為

555

k個5

=5(1+10+100++10k-1)=

5

9

(10k-1)，
同理：

555

2k個5

=

5

9

(102k-1)；g(

555

k個5

)=g(

5

9

(10k-1))=

9

5

[

5

9

(10k-1)]2+2×

5

9

(10k-1)
=

5

9

(10k-1)2+2×

5

9

(10k-1)=

5

9

(10k-1)(10k+1)=

5

9

(102k-1)=

555

2k個5

，
所以，g(x)=

9

5

x2+2x符合條件．