Question

給出下列四個命題：
①若對于?x∈R，有f（x-1）=f（x+1），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
②若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則函數(shù)f（x-1）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱；
③若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱；
④函數(shù)y=f（x-1）的圖象與函數(shù)y=f（1-x）的圖象關(guān)于y軸對稱
其中正確的命題是（ ）
A．①②
B．②③
C．②④
D．①③④

Answer 1

【答案】分析：若f（x-1）=f（x+1），則f（x）=f（x+2），根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可判斷①的真假；
根據(jù)奇函數(shù)圖象的對稱性及函數(shù)圖象平移變換法則，可判斷②的真假；
若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則f（x）=-f（2-x），根據(jù)函數(shù)圖象的對稱性，可判斷③的真假；
根據(jù)函數(shù)圖象的對稱變換法則，可判斷④的真假．
解答：解：若對于?x∈R，有f（x-1）=f（x+1），則f（x）=f（x+2），則函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，故①錯誤；
若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，函數(shù)f（x-1）的圖象，是把函數(shù)f（x）的圖象向右平移一個單位，他關(guān)于（1，0）對稱，故②正確；
若f（x+1）+f（1-x）=0恒成立，則f（x）=-f（2-x），則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱，故③正確；
函數(shù)y=f（x-1）的圖象與y=f（-x-1）的圖象關(guān)于y軸對稱，故④錯誤
故選B
點評：本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體考查了函數(shù)的周期性，奇偶性，對稱性及對稱變換，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．