定義:若平面點(diǎn)集A中的任一個(gè)點(diǎn)(x0,y0),總存在正實(shí)數(shù)r,使得集合{(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,則稱A為一個(gè)開集.給出下列集合:①(x,y)|x2+y2=1;②(x,y)|x+y+2≥0;③(x,y)|x+y<6;④{(x,y)|0<x2+(y-
3
)2<1}
.其中是開集的是( 。
A、①④B、②③C、②④D、③④
分析:根據(jù)開集的定義逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng),即可得到答案,:①:A={(x,y)|x2+y2=4}表示以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓,以圓上的點(diǎn)為圓心正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面不可能在該圓上,故不是開集,②在曲線x+y+2=0任意取點(diǎn)(x0,y0),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面,均不滿足 {(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,故該集合不是開集;③點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x0,y0),則該點(diǎn)到直線的距離為d,取r=d,滿足條件,故是開集;④該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x0,y0),則該點(diǎn)到圓周上的點(diǎn)的最短距離為d,取r=d,則滿足,{(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,故該集合是開集.從而得到答案.
解答:解:①:A={(x,y)|x2+y2=1}表示以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓,
則在該圓上任意取點(diǎn)(x0,y0),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面,均不滿足 {(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A

故①不是開集;
②A={(x,y)|x+y+2≥0},在曲線x+y+2=0任意取點(diǎn)(x0,y0),以任意正實(shí)數(shù)r為半徑的圓面,均不滿足 {(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,故該集合不是開集;
③A={(x,y)|x+y<6}平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x0,y0),則該點(diǎn)到直線的距離為d,取r=d,則滿足,{(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,故該集合是開集;
④A={(x,y)|0<x2+(y-
3
)
2
<1}
表示以點(diǎn)(0,
3
)為圓心,1為半徑除去圓心和圓周的圓面,在該平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x0,y0),則該點(diǎn)到
圓周上的點(diǎn)的最短距離為d,取r=d,則滿足,{(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,故該集合是開集.
故選D.
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)中檔題.本題屬于集合的新定義型問題,考查學(xué)生即時(shí)掌握信息,解決問題的能力.正確理解好集的定義是解決本題的關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:若平面點(diǎn)集A中的任一個(gè)點(diǎn)(x0,y0),總存在正實(shí)數(shù)r,使得集合{(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,則稱A為一個(gè)好集,給出下列集合:
①{(x,y)|x2-y2=1};
{(x,y)|
x2
2
+y2<1}
;
③{(x,y)|x+4y+7≤0};
④{(x,y)|y>x2+1}
其中是好集的是
 
(請(qǐng)寫出所有符合條件的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:若平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x0,y0),總存在正實(shí)數(shù)r,使得集合{(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,則稱A為一個(gè)開集.給出下列集合:①(x,y)|x2+y2=4;②(x,y)|x+y-2>0;③(x,y)||x+y|≤2;④{(x,y)|0<x2+(y-
2
)2<1}
.其中是開集的是( 。
A、①④B、②③C、②④D、③④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•成都模擬)定義:若平面點(diǎn)集A中的任一個(gè)點(diǎn)(x0,y0),總存在正實(shí)數(shù)r,使得集合B={(x,y)|
(x-x0)2+(y-y0)2
<r}⊆A
,則稱A為一個(gè)開集,給出下列集合:
①{(x,y)|x2+y2=1};      
②{(x,y|x+y+2>0)};
③{(x,y)||x+y|≤6};     
{(x,y)|0<x2+(y-
2
)
2
<1}

其中是開集的是
②④
②④
.(請(qǐng)寫出所有符合條件的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年四川省成都七中高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

定義:若平面點(diǎn)集A中的任一點(diǎn)(x,y),總存在正實(shí)數(shù)r,使得集合,則稱A為一個(gè)開集.給出下列集合:①(x,y)|x2+y2=4;②(x,y)|x+y-2>0;③(x,y)||x+y|≤2;④.其中是開集的是( )
A.①④
B.②③
C.②④
D.③④

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