Question

拋物線y=x²-2xsinα+1的頂點(diǎn)在橢圓x²+my²=1上，這樣的拋物線有且只有兩條，則m的取值范圍是

（0，1）

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓的方程，即可得到cos²α=0或cos²α=

1

m

，又因?yàn)閷��?yīng)的sinα有2個不同的值，
所以看到cos²α=

1

m

無解，進(jìn)而得到答案．

解答：解：由題意可得：拋物線y=x²-2xsinα+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（sinα，cos²α），
因?yàn)閽佄锞�y=x²-2xsinα+1的頂點(diǎn)在橢圓x²+my²=1上，
所以將頂點(diǎn)代入橢圓方程可得：sin²α+mcos⁴α=1，即mcos⁴α=cos²α，
解得：cos²α=0或cos²α=

1

m

，
因?yàn)檫@樣的拋物線有且只有兩條，
所以對應(yīng)的sinα有2個不同的值，
所以cos²α=

1

m

無解，即0＜m＜1．
故答案為：（0，1）

點(diǎn)評：本題主要考查圓錐曲線的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)屬于中檔題．