Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=，a_n+1=sin（a_n）（n∈N^*）．
證明：0＜a_n＜a_n+1＜1．

Answer 1

【答案】分析：先看當(dāng)n=1時(shí)，可求得a₂，則可驗(yàn)證結(jié)論成立；假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，根據(jù)0＜a_k＜a_k+1＜1，推斷出0＜a_k＜a_k+1＜．
進(jìn)而可知0＜sin（a_k）＜sin（a_k+1）＜1，即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，結(jié)論成立，最后綜合可知原式成立．
解答：證明：①n=1時(shí)，a₁=，
a₂=sin（a₁）=sin=．
∴0＜a₁＜a₂＜1，故結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，
即0＜a_k＜a_k+1＜1，
則0＜a_k＜a_k+1＜．
∴0＜sin（a_k）＜sin（a_k+1）＜1，
即0＜a_k+1＜a_k+2＜1，
也就是說n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
由①②可知，對(duì)一切n∈N^*均有0＜a_n＜a_n+1＜1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的地推式和用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式．