Question

已知O為△ABC所在平面外一點(diǎn)，且=，=，=，OA，OB，OC兩兩互相垂直，H為△ABC的垂心，試用，，表示．

Answer 1

【答案】分析：利用線面垂直的判斷定理得到OA⊥面OBC，OH⊥平面ABC，得到線線垂；利用平面向量基本定理設(shè)出，利用向量垂直的充要條件列出方程組求出K₁，K₂K₃，求出
解答：解：由平面OBC⇒OA⊥BC，連AH并延長并BC于M．
則由H為△ABC的垂心．∴AM⊥BC、
于是BC⊥平面OAH⇒OH⊥BC、
同理可證：平面ABC、
又，，是空間中三個不共面的向量，由向量基本定理知，存在三個實(shí)數(shù)k₁，k₂，k₃使得=、
由且⇒k₂=k₃，同理k₁=k₂．
∴k₁=k₂=k₃=m≠0． ①
又AH⊥OH，
∴=0⇒k₁（k₁-1）++=0②
聯(lián)立①及②，得③
又由①，得，，，代入③得：，，，
其中△=，于是=（）
點(diǎn)評：本題考查線面垂直的判斷定理、線面垂直的性質(zhì)、平面向量基本定理、向量垂直的充要條件．