Question

4．討論f（x）=（a-2）x+1nx的單調(diào)性．

Answer 1

分析 判斷參數(shù)a-2的取值，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
若a-2=0，即a=2時(shí)，f（x）=lnx，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，+∞），
若a-2＞0，即a＞2時(shí)，f（x）=（a-2）x+lnx，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，+∞），
若a-2＜0，即a＜2時(shí)，f（x）=（a-2）x+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+a-2，
由f′（x）＞0得$\frac{1}{x}$+a-2＞0，即x＞$\frac{1}{2-a}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2-a}$，+∞），
由f′（x）＜0得$\frac{1}{x}$+a-2＜0，即0＜x＜$\frac{1}{2-a}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2-a}$）．
綜上若a≥2，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），
若a＜2，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{2-a}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2-a}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的求解和判斷，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．