已知a、b、c、d為非負(fù)實(shí)數(shù),f(x)=
ax+b
cx+d
(x∈R),且f(19)=19,f(97)=97,若x≠-
d
c
,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均有f(f(x))=x成立,試求出f(x)值域外的唯一數(shù).
考點(diǎn):函數(shù)的值
專題:計(jì)算題
分析:由題意先化簡(jiǎn)f(f(x))=x得:(a+d)cx2+(d2-a2)x-b(a+d)=0,由恒成立可得a+d=0,且d2-a2=0,即d=-a,再把f(19)=19,f(97)=97代入化簡(jiǎn)求出a、b、c、d的關(guān)系,從而求出f(x)的解析式,利用分裂常數(shù)法化簡(jiǎn)解析式后,即可得到答案.
解答: 解:由題設(shè),對(duì)任意實(shí)數(shù)x≠-
d
c
有f(f(x))=x,即
a•
ax+b
cx+d
+b
c•
ax+b
cx+d
+d
=x
,
化簡(jiǎn),得(a+d)cx2+(d2-a2)x-b(a+d)=0,
由于上述方程對(duì)x≠-
d
c
恒成立,故a+d=0,且d2-a2=0,所以d=-a.…(10分)
又f(19)=19,f(97)=97,即19、97是方程
ax+b
cx+d
=x
的兩個(gè)根,
即方程是cx2+(d-a)x-b=0的兩個(gè)根,
故由韋達(dá)定理,得
a-d
c
=116
,-
d
c
=-1843

結(jié)合d=-a,得a=58c,b=-1843c,d=-58c,
所以f(x)=
58x-1843
x-58
=58+
1521
x-58

于是f(x)取不到58這個(gè)數(shù),即58是f(x)值域外的唯一的數(shù).…(20分)
點(diǎn)評(píng):本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,函數(shù)恒成立問題,以及分裂常數(shù)法化簡(jiǎn)解析式,考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力和邏輯思維能力,屬于難題.
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2
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3
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D、3

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2
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