Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2，PD=4，E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥平面PCD；
（2）若F是線段BC的中點(diǎn)，求三棱錐F-ACE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得PA⊥AD且PA⊥AB，得PA⊥平面ABCD，從而平面PAD⊥平面ABCD．結(jié)合面面垂直的性質(zhì)，得CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE．最后結(jié)合等腰直角△PAD的中線AE⊥PD，得AE⊥平面PCD；
（2）連接FA、FE，取AD的中點(diǎn)K，連接EK．根據(jù)三角形中位線定理，得到EK∥PA且EK=PA=2，得EK⊥平面ABCD，即EK是三棱錐E-AFC的高線．由此結(jié)合題中數(shù)據(jù)，算出三棱錐E-AFC的體積，即得三棱錐F-ACE的體積．
解答：解：（1）∵PA²+AD²=32=PD²，
∴∠PAD=90°，結(jié)合PA=AD得△PAD是等腰Rt△
又∵PA²+AB²=20=PB²，∴PA⊥AB
∵PA⊥AD且AB、AD是平面ABCD內(nèi)的相交直線
∴PA⊥平面ABCD
∵PA⊆平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∵AE⊆平面PAD，∴CD⊥AE
∵等腰Rt△PAD中，E是斜邊AD上的中線，∴AE⊥PD
∵PD、CD是平面PCD內(nèi)的相交直線，
∴AE⊥平面PCD；
（2）連接FA、FE，取AD的中點(diǎn)K，連接EK
∵△PAD中，EK是中位線，∴EK∥PA且EK=PA=2
∵PA⊥平面ABCD，
∴EK⊥平面ABCD，得EK是三棱錐E-AFC的高線
∴V_{三棱錐E-AFC}=×S_△AFC×EK=×××4×2×2=
∵V_{三棱錐E-AFC}=V_{三棱錐F-ACE}
∴V_{三棱錐F-ACE}=，即三棱錐F-ACE的體積是．
點(diǎn)評(píng)：本題在特殊四棱錐中，證明線面垂直并且求錐體體積，著重考查了空間垂直位置關(guān)系的證明和等體積轉(zhuǎn)換求三棱錐體積等知識(shí)，屬于中檔題．