Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AD=2，AA₁=1，E為BB₁的中點．
（1）求證：B₁D∥平面AEC；
（2）求證：AC⊥B₁D；
（3）求三棱錐E-ACD的體積．

Answer 1

（1）證明：連接BD，交AC于O，連接OE，則

∵E為BB₁的中點，O為BD的中點
∴B₁D∥OE
∵B₁D?平面AEC，OE?平面AEC
∴B₁D∥平面AEC；
（2）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=AD=2，∴AC⊥B₁D
∵BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AC
∵BB₁∩B₁D=B₁，∴AC⊥平面BB₁D
∴AC⊥B₁D；
（3）求三棱錐E-ACD的體積，即求三棱錐E-ACB的體積，
∵AB=AD=2，AA₁=1，E為BB₁的中點
∴三棱錐E-ACB的體積==
∴三棱錐E-ACD的體積為．
分析：（1）利用三角形的中位線性質證明線線平行，再利用線面平行的判定，可證B₁D∥平面AEC；
（2）利用線面垂直的判定證明AC⊥平面BB₁D，進而可得AC⊥B₁D；
（3）求三棱錐E-ACD的體積，即求三棱錐E-ACB的體積，利用體積公式可得結論．
點評：本題考查線面平行，線面垂直，考查三棱錐體積的計算，掌握線面平行、垂直的判定與性質是關鍵．