Question

如圖，三棱柱ADF-BCE中，除DF、CE外，其他的棱長均為2，AB⊥AF，平面ABCD⊥平面ABEF，M，N分別是AC，BF上的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ADF；
（Ⅱ）求直線MN與平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)G，連接NG，MG，容易證明平面MNG∥平面ADF，所以MN∥平面ADF；
（Ⅱ）容易說明角NMG是直線MN與平面ABCD所成角，所以在Rt△MNG中，NG=MG=1，所以∠NMG=45°．

解答： 證明：（Ⅰ）如圖，取AB中點(diǎn)G，連接MG，NG，∵N是BF中點(diǎn)，∴NG∥AF，且NG=

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AF=1，AF?平面ADF，∴NG∥平面ADF；
同理可得MG∥平面ADF，NG∩MG=G，∴平面MNG∥平面ADF，MN?平面MNG，∴MN∥平面ADF；
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AF⊥AB，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面ABCD；
∵NG∥AF，∴NG⊥平面ABCD；
∴∠NMG是直線MN與平面ABCD所成角，由（Ⅰ）知MG=

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BC=1，又NG=1，∴在Rt△MNG中，∠NMG=45°；
即直線MN與平面ABCD所成角的大小為45°．

點(diǎn)評：考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性質(zhì)，線面角的定義及求解．