Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3）+2，其中a為常數(shù)．
（1）若x=1是函數(shù)y=f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時，若g（x）=f（x）+f′（x），（其中x∈[0，2]），在x=2處取得最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），由題意f′（1）=0，解得a=2，再代入f′（x），驗證在x=1處兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號異號；
（2）由題意求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g′（x），再求g′（x）=0的兩個根為x₁，x₂，由根與系數(shù)關(guān)系，得到g（x）的極值，根據(jù)條件得到函數(shù)g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，再利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系，即可求出a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-6x，∴f′（1）=3a-6=0，∴a=2
檢驗，此時f（x）=2x³-3x²+2，f′（x）=6x²-6x
所以f（x）在（-∞，0）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，
x=1是f（x）的極小值點，所以a=2
（2）由于g（x）=ax³-3x²+2+3ax²-6x=ax³+（3a-3）x²-6x+2，
則g′（x）=3ax²+（6a-6）x-6
∵a＞0，∴g′（x）=0有兩個根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
由于x₁x₂=

-6

3a

＜0，則x₁＜0＜x₂，且g（x₁）為極大值，g（x₂）為極小值
由于g（x）在x=2處取得最小值，
所以g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，即g′（x）≤0在[0，2]上恒成立，
∴

g′(0)≤0 g′(2)≤0

，解得0＜a≤

3

4

則實數(shù)a的取值范圍是0＜a≤

3

4

．

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，極值的關(guān)系，以及再給定區(qū)間上的最值問題，考查了分類討論思想．