Question

已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤Φ≤π）為偶函數(shù)，其圖象上相鄰的兩個最高點(diǎn)之間的距離為2π．
（1）求f（x）的解析式；  
（2）若sinα+f（α）=

2

3

，求

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由圖象上相鄰的兩個最高點(diǎn)之間的距離為2π．可得周期，從而得到ω=1，再由函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
得到Φ=

π

2

，從而得到函數(shù)式；
（2）由sinα+f（α）=

2

3

，平方得到2sinαcosα=-

5

9

，再將所求的式子運(yùn)用切化弦和兩角差的正弦公式，以及二倍角公式，化簡即可得到所求的值．

解答： 解：（1）由圖象上相鄰的兩個最高點(diǎn)之間的距離為2π．
即有T=2π，ω=

2π

T

=1，
由函數(shù)f（x）=sin（ωx+Φ）（ω＞0，0≤Φ≤π）為偶函數(shù)，
則Φ=kπ+

π

2

，k為整數(shù)，由0≤Φ≤π，則Φ=

π

2

，
則f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx；
（2）由sinα+f（α）=

2

3

，得到sinα+cosα=

2

3

，
則平方有2sinαcosα=-

5

9

，
則

2 sin(2α- π 4 )+1

1+tanα

=

2 ( 2 2 sin2α- 2 2 cos2α)+1

sinα+cosα cosα

=

cosα(sin2α-cos2α+1)

cosα+sinα

=

cosα

cosα+sinα

•（2sin²α+2sinαcosα）
=2sinαcosα=-

5

9

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查三角恒等變換公式的運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和周期性及運(yùn)用，考查化簡計(jì)算能力，屬于中檔題．