Question

已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，左頂點(diǎn)為A，若|F₁F₂|=2，橢圓的離心率為
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（ I）由題意可得到：從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）設(shè)P（x，y）利用向量的數(shù)量積即可墳得，再結(jié)合橢圓方程得-2≤x≤2，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求得的取值范圍；
（III）先將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積公式即可求得m值，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（ I）由題意得（4分）
（II）設(shè)P（x，y），A（-2，0），F(xiàn)₁（-1，0）
=
由橢圓方程得-2≤x≤2，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=-6＜-2
當(dāng)x=-2時(shí)，取最小值0，
當(dāng)x=2時(shí)，取最大值12的取值范圍是[0，12]（9分）
（III）
由△＞0得4k²+3＞m²※
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，

∴（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（2+km）（x₁+x₂）+4+m²=0
∴4k²-16km+7m²=0均適合※（12分）

（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題及推理計(jì)算能力．本題為中檔題，需要熟練運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理．