Question

15．已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x-1），F(xiàn)（x）=f（x+1）-f（1-x）．
（Ⅰ）求F（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷F（x）的奇偶性；
（Ⅲ）解方程F（x）=1．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的定義域，再根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$確定F（x）的定義域；
（2）直接用奇偶性的定義判斷函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）構(gòu)造一個關(guān)于2^x的一元二次方程，用求根公式求解即可．

解答 解：（1）f（x）=log₂（2^x-1）的自變量x需滿足：2^x-1＞0，
解得x＞0，即f（x）的定義域為（0，+∞），
所以，F(xiàn)（x）=f（x+1）-f（1-x）的自變量x需滿足：$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，
解得x∈（-1，1），因此，F(xiàn)（x）的定義域為（-1，1）；
（2）由（1）知，F(xiàn)（x）的定義域為（-1，1），關(guān)于原點對稱，
且F（-x）=f（-x+1）-f（1+x）=-[f（x+1）-f（1-x）]=-F（x），
所以，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)；
（3）令F（x）=log₂$\frac{{2}^{1+x}-1}{{2}^{1-x}-1}$=1，
即$\frac{{2}^{1+x}-1}{{2}^{1-x}-1}$=2，整理得，2•2^2x+2^x-4=0，
解得，2^x=$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$（舍去負(fù)根），
所以，x=log₂$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$，
即方程F（x）=1的解為：x=log₂$\frac{\sqrt{33}-1}{4}$．

點評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的判斷，以及指數(shù)、對數(shù)方程根的求解，屬于中檔題．