Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求所有的實數(shù)a，使得對任意x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+1圖象的下方；
（3）若存在a∈[-4，4]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知f（x）在R上是增函數(shù)，則

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

即-2≤a≤2，則a范圍．
（2）由題意得對任意的實數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]時，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可．由此可知答案．
（3）當(dāng)-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則2ta∈(2a，

(a+2)2

4

)，即存在a∈（2，4]，使得t∈(1，

(a+2)2

8a

)即可，由此可證出實數(shù)t的取值范圍為(1，

9

8

)．

解答：解：（1）f(x)=x|x-a|+2x=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

由f（x）在R上是增函數(shù)，則

a≥- 2-a 2 a≤ 2+a 2

即-2≤a≤2，則a范圍為-2≤a≤2；（4分）
（2）由題意得對任意的實數(shù)x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1，當(dāng)x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜

1

x

，-

1

x

＜x-a＜

1

x

，x-

1

x

＜a＜x+

1

x

，故只要x-

1

x

＜a且a＜x+

1

x

在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]時，只要x-

1

x

的最大值小于a且x+

1

x

的最小值大于a即可，（6分）
而當(dāng)x∈[1，2]時，(x-

1

x

)′=1+

1

x2

＞0，x-

1

x

為增函數(shù)，(x-

1

x

)max=

3

2

；
當(dāng)x∈[1，2]時，(x+

1

x

)′=1-

1

x2

＞0，x+

1

x

為增函數(shù)，(x+

1

x

)min=2，
所以

3

2

＜a＜2；（10分）
（3）當(dāng)-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根；（11分）
則當(dāng)a∈（2，4]時，由f(x)=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

得x≥a時，f（x）=x²+（2-a）x對稱軸x=

a-2

2

＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a時，f（x）=-x²+（2+a）x對稱軸x=

a+2

2

＜a，
則f（x）在x∈(-∞，

a+2

2

]為增函數(shù)，此時f（x）的值域為(-∞，

(a+2)2

4

]，f（x）在x∈[

a+2

2

，a)為減函數(shù)，此時f（x）的值域為(2a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，則2ta∈(2a，

(a+2)2

4

)，
即存在a∈（2，4]，使得t∈(1，

(a+2)2

8a

)即可，令g(a)=

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)，
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函數(shù)，(g(a))max=g(4)=

9

8

，
故實數(shù)t的取值范圍為(1，

9

8

)；（15分）
同理可求當(dāng)a∈[-4，-2）時，t的取值范圍為(1，

9

8

)；
綜上所述，實數(shù)t的取值范圍為(1，

9

8

)．（16分）

點評：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題．