Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，數(shù)列{b_n}，點(diǎn)（n，b_n）在過點(diǎn)A（0，1）的直線l上，若l上有兩點(diǎn)B、C，向量=（1，2）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=n•，試求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

解：（1）在數(shù)列{a_n}中，∵a_n+1=a_n+1，∴a_n+1-a_n=1
則數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，又a₁=6，
∴a_n=a₁+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
設(shè)l上任意一點(diǎn)P（x，y），∵點(diǎn)A（0，1）在直線l上，則=（x，y-1），
由已知可得∥，又向量=（1，2），
∴2x-（y-1）=0，∴直線l的方程為y=2x+1，
又直線l過點(diǎn)（n，b_n），∴b_n=2n+1；
（2）由
∴S_n=C₁+C₂+…+c_n
=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+n•2²ⁿ⁺¹①
②
①-②得：．
==
∴．
分析：（1）由給出的遞推式得到數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，可直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．題目給出了直線l經(jīng)過頂點(diǎn)A，且給出了方向向量，設(shè)出直線l上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，由共線向量基本定理可求直線l的方程，然后把點(diǎn)（n，b_n）代入所求的直線方程即可得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求出的數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=n•，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列中等差關(guān)系的確定，考查了由直線的方向向量求直線的方程，訓(xùn)練了共線向量基本定理，如果直線l的方向向量為，則該直線的斜率為k=，考查了數(shù)列求和的常用方法，錯(cuò)位相減法，求一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的乘積構(gòu)成的新數(shù)列的和，最常用的方法就是錯(cuò)位相減法，利用錯(cuò)位相減法學(xué)生最容易忽落的就是最后一項(xiàng)的符號(hào)，從而導(dǎo)致解讀出錯(cuò)．此題屬中檔題型．