Question

已知直線l：2x-3y-8=0與拋物線C：y²=4x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求△OAB的面積；
（Ⅱ）拋物線C上是否存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線AB對(duì)稱，若存在，求出直線MN的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出A，B的坐標(biāo)，計(jì)算|AB|，原點(diǎn)到直線AB的距離，可求△OAB的面積；
（Ⅱ）假設(shè)存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于AB對(duì)稱，設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出線段MN中點(diǎn)，代入直線l：2x-3y-8=0可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由

2x-3y-8=0 y2=4x

，解得A（16，8），B（1，-2），則|AB|=5

13

，
因?yàn)樵�點(diǎn)到直線AB的距離為d=

8 13

13

，所以S△OAB=

1

2

d•|AB|=20．
（Ⅱ）假設(shè)存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于AB對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
則kMN=-

1

kAB

=-

3

2

，設(shè)MN：y=-

3

2

x+m與y²=4x，消x得3y²+8y-8m=0，△=64+4×3×8m＞0，
∴m＞-

2

3

y1+y2=-

8

3

，則

y1+y2

2

=-

4

3

，

x1+x2

2

=

8+6m

9

，
所以線段MN中點(diǎn)(-

4

3

，

8+6m

9

)在直線l：2x-3y-8=0上解得m=

5

3

滿足m＞-

2

3

．
故存在M、N關(guān)于直線AB對(duì)稱，直線MN：9x+6y-10=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．