Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-tx（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）≥x²-2t-3的解集為M，且集合{x|x≥3}⊆M，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）借助導(dǎo)數(shù)，討論t的不同范圍確定函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將問題化恒成立問題，再轉(zhuǎn)化為最值問題．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-tx，
∴f'（x）=e^x-t．
當(dāng)t≤0時，有f'（x）＞0在R上恒成立；
當(dāng)t＞0時，由f'（x）＞0可得x＞lnt．
綜上可得，當(dāng)t≤0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)t＞0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞）．
（2）由不等式f（x）≥x²-2t-3即e^x-x²+3≥（x-2）t的解集為M，且{x|x≥3}⊆M，可知，
對于任意x≥3，不等式e^x-x²+3≥（x-2）t即t≤

ex-x2+3

x-2

恒成立．
令g(x)=

ex-x2+3

x-2

，g′(x)=

(x-3)(ex-x+1)

(x-2)2

．
令h（x）=e^x-x+1，h′（x）=e^x-1，
當(dāng)x≥3時，e^x-1＞0，即h（x）≥h（3）=e³-2＞0，
∴g′（x）＞0，即x≥3時，g（x）為增函數(shù)，
∴g(x)≥g(3)=

e3-6

3-2

=e3-6．
∴t≤e³-6．
∴實數(shù)t的取值范圍是（-∞，e³-6]．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，將單調(diào)性問題化為導(dǎo)數(shù)的正負(fù)問題，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想，恒成立問題化為最值問題，屬于難題．