Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，且直線l經(jīng)過曲線C的左焦點F．
（ I ）求直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L，求L的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=4，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程，可得作焦點F$（-\sqrt{2}，0）$．直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x-y=m，把F代入可得：m．
（II）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點為$（2cosθ，\sqrt{2}sinθ）$$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．可得橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為L=8cosθ+4$\sqrt{2}$sinθ=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ）（其中tanφ=$\sqrt{2}$）．即可得出橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²=$\frac{4}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=4，
可得直角坐標(biāo)方程：x²+2y²=4，化為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
∴c=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，可得作焦點F$（-\sqrt{2}，0）$．
直線l的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：x-y=m，
把$（-\sqrt{2}，0）$代入可得：m=-$\sqrt{2}$．
∴直線l的普通方程為：x-y+$\sqrt{2}$=0．
（II）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點為$（2cosθ，\sqrt{2}sinθ）$$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．
∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為L=8cosθ+4$\sqrt{2}$sinθ=4$\sqrt{6}$sin（θ+φ）≤4$\sqrt{6}$（其中tanφ=$\sqrt{2}$）．
∴橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值為4$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識、極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．