Question

15．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為N，過點(diǎn)F作直線與此拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}$=0，且|$\overrightarrow{AF}$|-|$\overrightarrow{BF}$|=4，則p的值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 假設(shè)k存在，設(shè)AB方程為：y=k（x-$\frac{p}{2}$），代入橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系，由∠NBA=90°，可得|AF|-|BF|=（x₂+$\frac{p}{2}$）-（x₁+$\frac{p}{2}$）=2p，再利用焦點(diǎn)弦長公式即可求得p的值．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
設(shè)兩交點(diǎn)為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
假設(shè)k存在，設(shè)AB方程為：y=k（x-$\frac{p}{2}$），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得k²x²-（k²+2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0，
∵$\overrightarrow{NB}•\overrightarrow{AB}$=0，則∠NBA=90°，∴（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₁+$\frac{p}{2}$）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴x₁²+2px₁-$\frac{{p}^{2}}{4}$=0（x₁＞0），∴x₁=$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$p，
∵x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴x₂=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$，
∴|AF|-|BF|=（x₂+$\frac{p}{2}$）-（x₁+$\frac{p}{2}$）=2p，
即2p=4，則p=2，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．