Question

7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2ccosA+$\sqrt{3}$a=2b．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a+b=6，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：根據(jù)正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知的式子，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角C；
法二：根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，并求出cosB的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角C；
（Ⅱ）由條件和三角形的面積公式表示出△ABC的面積，由基本不等式求出△ABC的面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）法一：由2ccosA+$\sqrt{3}$a=2b及正弦定理得，
2sinCcosA+$\sqrt{3}$sinA=2sinB=2sin（A+C），
化簡(jiǎn)得，$\sqrt{3}$sinA=2sinAcosC，
由sinA≠0得，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜C＜π，則C=$\frac{π}{6}$；
法二：由2ccosA+$\sqrt{3}$a=2b及余弦定理得，
2c•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\sqrt{3}$a=2b，
化簡(jiǎn)得，${a}^{2}+^{2}-{c}^{2}=\sqrt{3}ab$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜C＜π，則C=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a+b=6，C=$\frac{π}{6}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{4}ab$≤$\frac{1}{4}（\frac{a+b}{2}）^{2}$=$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴△ABC的面積的最大值是$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，以及基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．