Question

19．在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，-2），B（-2，3），C（2，-1），以線段AB，AC為鄰邊作平行西變形ABDC．
（Ⅰ）求平行四邊形ABDC兩條對角線所成的角（非鈍角）的余弦值；
（Ⅱ）設實數t滿足（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）⊥$\overrightarrow{OD}$=0，求t的值．

Answer 1

分析 （I）由已知可得：$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$，利用cos$＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{CB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CB}|}$即可得出．
（Ⅱ）$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$，可得$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$=（-3-2t，5+t），根據實數t滿足（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）⊥$\overrightarrow{OD}$=0，可得（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OD}$=0．

解答 解：（I）由已知可得：$\overrightarrow{AB}$=（-3，5），$\overrightarrow{AC}$=（1，1），
則$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$=（-2，6），$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=（-4，4）．
∴$|\overrightarrow{AD}|$=2$\sqrt{10}$，$|\overrightarrow{CB}|$=4$\sqrt{2}$，
cos$＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{CB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{32}{2\sqrt{10}×4\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平行四邊形ABDC兩條對角線所成的角（非鈍角）的余弦值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（Ⅱ）$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$=（-2，6），∴$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+（-2，6）$=（-1，4），又$\overrightarrow{OC}$=（2，-1），
∴$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$=（-3-2t，5+t），
∵實數t滿足（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）⊥$\overrightarrow{OD}$=0，∴（$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OD}$=6t+23=0，
∴t=-$\frac{23}{6}$．

點評 本題考查了向量坐標運算性質、向量夾角公式、向量垂直與數量積的關系、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．