Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，由求得的值，由此求得拋物線方程.

（2）法一：設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，計(jì)算，由此證得.

法二：將直線的斜率分為存在和不存在兩種情況進(jìn)行分類討論，通過計(jì)算，證得.

（1）由題設(shè)拋物線的方程為：，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為，

∵，∴，

∴，∴，∴.

（2）設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，

法一：因?yàn)橹本�當(dāng)的斜率不為0，設(shè)直線當(dāng)的方程為

方程組，得，

，

因?yàn)?/span>，

所以

，

所以.

法二：①當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)，，

即，有，所以.

②當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.

方程組，得，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以

所以.

由①②得.