Question

函數(shù)f(x)=

x2-x4

|x-2|-2

．給出函數(shù)f（x）下列性質(zhì)：（1）函數(shù)的定義域和值域均為[-1，1]；（2）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；（3）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（4）∫Af(x)dx=0（其中A為函數(shù)的定義域）；（5）A、B為函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點(diǎn)，則

2

＜|AB|≤2．請(qǐng)寫出所有關(guān)于函數(shù)f（x）性質(zhì)正確描述的序號(hào)

（2）（4）

．

Answer 1

分析：先求定義域，根據(jù)定義域化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義判斷單調(diào)性、奇偶性、研究長(zhǎng)度；根據(jù)積分的幾何意義求積分值．

解答：解：要使函數(shù)有意義，需滿足

x2-x4≥0 |x-2|≠2

，
解得-1≤x≤1且x≠0，即函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，0）∪（0，1]，
故（1）不正確．
根據(jù)函數(shù)的定義域可將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為f(x)=

x2-x4

2-x-2

=-

x2-x4

x

，
所以f(-x)=

x2-x4

x

=-f（x），即函數(shù)是奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；∫Af(x)dx=0（其中A為函數(shù)的定義域），
故（2）（4）正確．
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是間斷的，
故（3）的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．
由于A、B為函數(shù)f（x）圖象上任意不同兩點(diǎn)，所以|AB|＞0，而不是|AB|＞

2

，
故（5）的說(shuō)法是錯(cuò)誤的．
所以答案為（2）（4）．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是求出定義域后化簡(jiǎn)解析式，要是直接研究其性質(zhì)會(huì)很麻煩．