Question

如果存在非零常數(shù)c，對于函數(shù)y=f（x）定義域R上的任意x，都有f（x+c）＞f（x）成立，那么稱函數(shù)為“Z函數(shù)”．
（1）求證：若y=f（x）（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，則它是“Z函數(shù)”；
（2）若函數(shù)g（x）=ax³+bx²是“Z函數(shù)”，求實數(shù)a、b滿足的條件．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,進行簡單的合情推理

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由y=f（x）（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，若是增函數(shù)，則當(dāng)c＞0時，函數(shù)為“Z函數(shù)”；若是減函數(shù)，則當(dāng)c＜0時，函數(shù)為“Z函數(shù)”，從而得證；
（2）由函數(shù)g（x）=ax³+bx²是“Z函數(shù)”，則函數(shù)g（x）滿足定義，由g′（x）≥0或g′（x）≤0恒成立，討論分析可得實數(shù)a，b滿足的條件是a≠0且b=0．

解答： 證明：（1）若y=f（x）（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，
若y=f（x）（x∈R）是增函數(shù)，則當(dāng)c＞0時，都有f（x+c）＞f（x）成立，函數(shù)為“Z函數(shù)”．
若y=f（x）（x∈R）是減函數(shù)，則當(dāng)c＜0時，都有f（x+c）＞f（x）成立，函數(shù)為“Z函數(shù)”．
（2）若函數(shù)g（x）=ax³+bx²是“Z函數(shù)”，
則函數(shù)g（x）=ax³+bx²是單調(diào)函數(shù)，即g′（x）可能恒大于0或恒小于等于0，
g′（x）=（ax³+bx²）′=3ax²+2bx，
∴g′（x）=3ax²+2bx≥0或g′（x）=3ax²+2bx≤0恒成立，
∴

a＞0 4b2≤0

或

a＜0 4b2≤0

∴a＞0且b=0或a＜0，b=0，
由于題目中是存在非零常數(shù)c，那么c完全可以取到特別大的實數(shù)更大，那么y=3ax²+2bx的單調(diào)性由于c過大，完全可以認(rèn)為是單調(diào)增，忽略但調(diào)減的區(qū)間，所以b∈R
∴實數(shù)a、b滿足的條件是a≠0．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查了進行簡單的合情推理的能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．