Question

4．將三個(gè)半徑為3的球兩兩相切地放在水平桌面上，若在這三個(gè)球的上方放置一個(gè)半徑為1的小球，使得這四個(gè)球兩兩相切，則該小球的球心到桌面的距離為（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 設(shè)四個(gè)球的球心分別為O₁、O₂、O₃、O₄，它們兩兩連結(jié)恰好組成一個(gè)正三棱錐，且底面各棱長均為6，側(cè)棱長均為4，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足為H，求出棱錐的高O₁H，即可求出上面小球球心到桌面的距離．

解答 解：設(shè)四個(gè)球的球心分別為O₁、O₂、O₃、O₄，
將它們兩兩連結(jié)恰好組成一個(gè)正三棱錐，
且底面各棱長均為3+3=6，側(cè)棱長均為1+3=4，
作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足為H，則O₁H為棱錐的高；

連接O₄H，則O₄H=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
∵O₁H⊥面O₂O₃O₄，
∴O₁H⊥HO₄，即∠O₁HO₄=90°，
∴O₁H=$\sqrt{{{{O}_{1}O}_{4}}^{2}{-{HO}_{4}}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{-（2\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
則從上面一個(gè)球的球心到桌面的距離為2+3=5，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了點(diǎn)到平面距離的計(jì)算問題，也考查了構(gòu)造幾何模型解答問題的能力，是中檔題目．