【題目】如圖,平面平面,其中為矩形,為梯形,,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若二面角的平面角的余弦值為,求的長.
【答案】(1)見解析;(2)AB=.
【解析】分析:(Ⅰ)由線面垂直的性質(zhì)可得平面,從而得,結(jié)合,利用線面垂直的判定定理可得平面;(Ⅱ)設(shè),以為原點,所在的直線分別為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,平面ABF的法向量可取,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求得平面的法向量),利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.
詳解:(Ⅰ)平面平面,且為矩形,
平面,
又平面, ,
又且
平面.源:Z+xx+k.Com]
(Ⅱ)設(shè)AB=x.以F為原點,AF,F(xiàn)E所在的直線分別為x軸,y軸建立空間直角坐標(biāo)系.則F(0,0,0),A(-2,0,0),E(0,,0),D(-1,,0),B(-2,0,x),所以=(1,-,0),=(2,0,-x).
因為EF⊥平面ABF,所以平面ABF的法向量可取=(0,1,0).
設(shè)=(x1,y1,z1)為平面BFD的法向量,則
所以,可取=(,1,).
因為cos<,>==,得x=,所以AB=.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,近日我漁船編隊在島周圍海域作業(yè),在島的南偏西20°方向有一個海面觀測站,某時刻觀測站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊靠近,現(xiàn)測得與相距31海里的處有一艘海警船巡航,上級指示海警船沿北偏西40°方向,以40海里/小時的速度向島直線航行以保護我漁船編隊,30分鐘后到達(dá)處,此時觀測站測得間的距離為21海里.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)試問海警船再向前航行多少分鐘方可到島?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某海面上有、、三個小島(面積大小忽略不計),島在島的北偏東方向處,島在島的正東方向處.
(1)以為坐標(biāo)原點,的正東方向為軸正方向,為單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,寫出、的坐標(biāo),并求、兩島之間的距離;
(2)已知在經(jīng)過、、三個點的圓形區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船在島的南偏西方向距島處,正沿著北偏東行駛,若不改變方向,試問該船有沒有觸礁的危險?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(12分)
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,求線段AH的長.
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