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【題目】已知函數,其中, 為自然對數的底數.

(1)設是函數的導函數,求函數在區(qū)間上的最小值;

(2)若,函數在區(qū)間內有零點,證明:

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)由題意知

由于 ,根據兩個區(qū)間關系,分, , 三種情況討論。(2)由 在區(qū)間內有零點,設在區(qū)間內的一個零點,則由可知, 在區(qū)間上不可能單調遞增,也不可能單調遞減.由(1)知., 在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.因此, , .解得

試題解析:(Ⅰ)由,有

所以

因此,當時,

時, ,所以上單調遞增,

因此上的最小值是

時, ,所以上單調遞減,

因此上的最小值是;

時,令,得

所以函數在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增,

于是上的最小值是

綜上所述,

時, 上的最小值是

時, 上的最小值是;

時, 上的最小值是

(Ⅱ)設在區(qū)間內的一個零點,則由可知,

在區(qū)間上不可能單調遞增,也不可能單調遞減.

不可能恒為正,也不可能恒為負.

在區(qū)間內存在零點

同理在區(qū)間內存在零點

所以在區(qū)間內至少有兩個零點.

由(Ⅰ)知,當時, 上單調遞增,故內至多有一個零點.

時, 上單調遞減,故內至多有一個零點.

所以

此時, 在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增.

因此, ,必有

,

,

,

解得

所以,函數在區(qū)間內有零點時,

練習冊系列答案
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(1)若將頻率視為概率,月乘車次數不低于15次的稱之為“老乘客”,試問:哪一車次的“老乘客”較多,簡要說明理由;

(2)已知在次列車隨機抽到的50歲以上人員有35名,其中有10名是“老乘客”,由條件完成列聯表,并根據資料判斷,是否有的把握認為年齡與乘車次數有關,說明理由.

老乘客

新乘客

合計

50歲以上

50歲以下

合計

附:隨機變量(其中為樣本容量)

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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的值.

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(2)用表示選擇片區(qū)的人數,求的分布列和數學期望.

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