Question

【題目】已知函數(shù)，其中， 為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（2）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由題意知． ．

由于， ,根據(jù)兩個區(qū)間關(guān)系，分， ， 三種情況討論。（2）由， 在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，則由可知， 在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．由（1）知．， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因此， ， ， ．解得．

試題解析：（Ⅰ）由，有．

所以．

因此，當(dāng)時， ．

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增，

因此在上的最小值是；

當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞減，

因此在上的最小值是；

當(dāng)時，令，得．

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

于是在上的最小值是．

綜上所述，

當(dāng)時， 在上的最小值是；

當(dāng)時， 在上的最小值是；

當(dāng)時， 在上的最小值是．

（Ⅱ）設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，則由可知，

在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．

則不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)．

故在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．

同理在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．

所以在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)．

由（Ⅰ）知，當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)．

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)．

所以．

此時， 在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

因此， ，必有

， ．

由有，

由， ．

解得．

所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)時， ．