Question

13、已知函數(shù)f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別可作為拋物線、雙曲線、橢圓的離心率，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-3，-2）

．

Answer 1

分析：先把函數(shù)f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程x³+（a-1）x²+3x+b=0有三個(gè)不等實(shí)根．再根據(jù)1是方程的根代入求出b和a之間的關(guān)系式；代入原方程分解因式，最后轉(zhuǎn)化為x²+a（x+1）+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，再借助于圖象求出實(shí)數(shù)a的取值范圍即可．

解答：解：函數(shù)f（x）=x³+（a-1）x²+3x+b的圖象與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，即是方程x³+（a-1）x²+3x+b=0有三個(gè)不等實(shí)根．
由題得1是方程的根，故有1+（a-1）+3+b=0?b=-a-3?x³+（a-1）x²+3x+b=x³+（a-1）x²+3x-a-3=（x-1）[x²+a（x+1）+3]=0．
因?yàn)榻稽c(diǎn)的橫坐標(biāo)分別可作為拋物線、雙曲線、橢圓的離心率
故方程g（x）=x²+a（x+1）+3=0有兩個(gè)根，且一個(gè)根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，
由圖得，
有g(shù)（0）＞0且g（1）＜0?a＞-3且a＜-2，
故滿足要求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-3，-2）．
故答案為：（-3，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根的個(gè)數(shù)問題以及一元二次根的分布問題．在解決一元二次方程根的分布問題時(shí)，常常是把其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象找出來，借助于圖象來解．