Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的正整數(shù)n都有S_n=2a_n-3n．
（1）求{a_n}的通項公式．
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和．

Answer 1

解：（1）∵S_n=2a_n-3n對于任意的正整數(shù)都成立，
∴S_n+1=2a_n+1-3（n+1）
兩式相減，得S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
即a_n+1=2a_n+3
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
即對一切正整數(shù)都成立．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
由已知得 S₁=2a₁-3即a₁=2a₁-3，
∴a₁=3
∴數(shù)列{b_n}的首項b₁=a₁+3=6，公比q=2，
∴
∴
（2）∵，
∴，
，
兩式相減得
=，
．
分析：（1）利用S_n=2a_n-3n對于任意的正整數(shù)都成立，推出S_n+1=2a_n+1-3（n+1），推出a_n+1+3=2（a_n+3），構(gòu)造新數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．求出b_n，然后求{a_n}的通項公式．
（2）通過（1）的結(jié)果，推出數(shù)列{na_n}的表達式，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．
點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，前n項和的求法--錯位相減法分應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力．