設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
1
2
，右焦點到直線
x
a
+
y
b
=1的距離d=
21
7
，O為坐標原點．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值．
（I）由e=
1
2
得
c
a
=
1
2
即a=2c，∴b=
3
c．
由右焦點到直線
x
a
+
y
b
=1的距離為d=
21
7
，
得：
|bc-ab|
a2+b2
=
21
7
，
解得a=2，b=
3
．
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（II）設A（x1，y1），B（x2，y2），
直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓
x2
4
+
y2
3
=1聯(lián)立消去y得3x2+4（k2x2+2kmx+m2）-12=0，x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
．
∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．
即（k2+1）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴(k2+1)
4m2-12
3+4k2
-
8k2m2
3+4k2
+m=0，
整理得7m2=12（k2+1）
所以O到直線AB的距離d=
|m|
k2+1
=
12
7
=
2
21
7
．為定值
∵OA⊥OB，∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB，
當且僅當OA=OB時取“=”號．
由d•AB=OA•OB得d•AB=OA•OB≤
AB2
2
，
∴AB≥2d=
4
21
7
，
即弦AB的長度的最小值是
4
21
7
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標；
（3）設過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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