(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.

(1)求雙曲線的離心率;
(2)如圖,為坐標(biāo)原點,動直線分別交直線兩點(分別在第一,四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由.
(1)  ;(2)存在

試題分析:(1) 已知雙曲線的兩條漸近線分別為,所以根據(jù)即可求得結(jié)論.
(2)首先分類討論直線的位置.由直線垂直于x軸可得到一個結(jié)論.再討論直線不垂直于x軸,由的面積恒為8,則轉(zhuǎn)化為.由直線與雙曲線方程聯(lián)立以及韋達(dá)定理,即可得到直線有且只有一個公共點.
試題解析:(1)因為雙曲線E的漸近線分別為和.所以,從而雙曲線E的離心率.
(2)由(1)知,雙曲線E的方程為.設(shè)直線與x軸相交于點C.
當(dāng)軸時,若直線與雙曲線E有且只有一個公共點,則,又因為的面積為8,所以.此時雙曲線E的方程為.
若存在滿足條件的雙曲線E,則E的方程只能為.以下證明:當(dāng)直線不與x軸垂直時,雙曲線E:也滿足條件.
設(shè)直線的方程為,依題意,得k>2或k<-2.則,記.由,得,同理得.由得, .
得, .因為,所以,又因為.所以,即與雙曲線E有且只有一個公共點.
因此,存在總與有且只有一個公共點的雙曲線E,且E的方程為.
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x2
16
+
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9
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A.
9
5
B.3C.
9
7
7
D.
9
4

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