Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）．
（1）若函數(shù)g（x）=f（e^4x）+ax，且g（x）是偶函數(shù)，求a的值；
（2）若h（x）=f（x）[f （x）+2m-1]在區(qū)間[e-1，e³-1]上有最小值-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出g（x）=ln（1+e^4x）+ax，由g（x）為偶函數(shù)，便可得到ln（1+e^-4）-a=ln（1+e⁴）+a，這樣便可求出a的值；
（2）可設(shè)f（x）=t，可得到t∈[1，3]，設(shè)y=h（x），從而有$y={t}^{2}+（2m-1）t=[t-（\frac{1}{2}-m）]^{2}$$-{m}^{2}+m-\frac{1}{4}$，可討論$\frac{1}{2}-m$和區(qū)間[1，3]的關(guān)系：分$\frac{1}{2}-m≤1，1＜\frac{1}{2}-m＜3$和$\frac{1}{2}-m≥3$三種情況，在每種情況里，根據(jù)y的最小值為-4便可建立關(guān)于m的方程，解方程即得m的值．

解答 解：（1）g（x）=f（e^4x）+ax=ln（1+e^4x）+ax，g（x）為偶函數(shù)；
∴g（-1）=g（1）；
即ln（1+e^-4）-a=ln（1+e⁴）+a；
∴l(xiāng)n（1+e⁴）-lne⁴-a=ln（1+e⁴）+a；
∴-4-a=a；
∴a=-2；
（2）令f（x）=t，x∈[e-1，e³-1]，∴t∈[1，3]；
設(shè)y=h（x），則y=${t}^{2}+（2m-1）t=[t-（\frac{1}{2}-m）]^{2}-{m}^{2}+m-\frac{1}{4}$；
①若$\frac{1}{2}-m≤1$，即$m≥-\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，y_min=2m=-4；
∴m=-2與$m≥-\frac{1}{2}$不符；
②若$1＜\frac{1}{2}-m＜3$，即$-\frac{5}{2}＜m＜-\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)$t=\frac{1}{2}-m$時(shí)，${y}_{min}=-{m}^{2}+m-\frac{1}{4}=-4$；
解得m=$-\frac{3}{2}$，或$\frac{5}{2}$（舍去）；
③若$\frac{1}{2}-m≥3$，即$m≤-\frac{5}{2}$時(shí)，當(dāng)t=3時(shí)，
y_min=6m+6=-4；
∴$m=-\frac{5}{3}$，與$m≤-\frac{5}{2}$不符；
綜上得，m的值為$-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，偶函數(shù)的定義，換元法的應(yīng)用，配方求二次函數(shù)最值的方法，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．