Question

在圓O：x²+y²=4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時，線段PD的中點(diǎn)M形成軌跡C．
（1）求軌跡C的方程；
（2）若直線y=x與曲線C交于AB兩點(diǎn)，Q為曲線C上一動點(diǎn)，求△ABQ面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，由M為線段PD的中點(diǎn)得到P的坐標(biāo)，把P的坐標(biāo)代入圓x²+y²=4整理得線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線y=x和橢圓x2+

y2

4

=1，求出AB的長；設(shè)過Q且與直線y=x平行的直線為y=x+t，當(dāng)直線與橢圓相切時，兩直線的距離取最大，求出t，和兩平行直線間的距離，再由面積公式，即可得到最大值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），由題意D（x，0），P（x，y₁）
∵M(jìn)為線段PD的中點(diǎn)，∴y₁+0=2y，y₁=2y．
又∵P（x，y₁）在圓x²+y²=4上，∴x2+y12=4，
∴x²+4y²=4，即

x2

4

+y²=1．
∴軌跡C為橢圓，且方程為x2+

y2

4

=1；
（2）聯(lián)立直線y=x和橢圓x2+

y2

4

=1，得到5x²=4，即x=±

2 5

5

，
即有A（

2 5

5

，

2 5

5

），B（-

2 5

5

，-

2 5

5

），
|AB|=

4 10

5

．
設(shè)過Q且與直線y=x平行的直線為y=x+t，
當(dāng)直線與橢圓相切時，兩直線的距離取最大，
將y=x+t，代入橢圓方程，得5x²+8tx+4t²-4=0，由相切的條件得，
△=64t²-4×5×（4t²-4）=0，解得，t=±

5

，
則所求直線為y=x+

5

或y=x-

5

，故與直線y=x的距離為

5

2

．
則△ABQ面積的最大為S=

1

2

×

4 10

5

×

| 5 |

2

=2．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系，注意等價的條件，同時考查聯(lián)立方程，消去變量的運(yùn)算能力，屬于中檔題．