Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax-1，a＞0
（1）當(dāng)a=4，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=4時，f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由f（x）在x=-1處取得極值，求出f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），由此求出f（x）_極小值=f（1）=-3，f（x）_極大值=f（-1）=1，再由直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，能求出m的取值范圍是（-3，1）．

解答： 解：（1）a=4時，f（x）=x³-12x-1，
∴f′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
由f′（x）＜0，得-2＜x＜2，
由f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2，
∴f（x）的減區(qū)間是（-2，2）；f（x）的增區(qū)間是（-∞，-2），（2，+∞）．
（2）∵f（x）=x³-3ax-1，a＞0，
∴f′（x）=3x²-3a，
∵f（x）在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=3-3a=0，解得a=1，
∴f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
由由f′（x）＜0，得-1＜x＜1，
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，
∴f（x）的減區(qū)間是（-1，1）；f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．
∴f（x）_極小值=f（1）=-3，f（x）_極大值=f（-1）=1，
∵直線y=m與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，
∴m的取值范圍是（-3，1）．

點評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．