Question

8．將函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，再將得到的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到的函數(shù)y=g（x）的圖象．若方程g（x）-a=0，x∈（$\frac{π}{2}$，3π）有三個(gè)根，且這三根可以構(gòu)成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由條件利用誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，數(shù)形結(jié)合、分類討論求得a的值．

解答 解：將函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，
得到y(tǒng)=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x的圖象；
再將得到的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍
（縱坐標(biāo)不變）后得到的函數(shù)y=g（x）=cosx的圖象．
若方程g（x）-a=0，x∈（$\frac{π}{2}$，3π）有三個(gè)根，
即cosx=a在（$\frac{π}{2}$，3π）上有3個(gè)實(shí)數(shù)根，
且這三根可以構(gòu)成等比數(shù)列，
即函數(shù)g（x）=cosx的圖象和直線y=a在（$\frac{π}{2}$，3π）上
有3個(gè)交點(diǎn)，且這3個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，
結(jié)合圖象可得a＜0．
若a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則x=$\frac{3π}{4}$，x=$\frac{5π}{4}$，x=$\frac{11π}{4}$，不滿足這3個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列．
若a=-$\frac{1}{2}$，則x=$\frac{2π}{3}$，x=$\frac{4π}{3}$，x=$\frac{8π}{3}$，滿足這3個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用了y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．