Question

現(xiàn)有一條長(zhǎng)度為1的繩子．
（1）用剪刀剪成兩段，使得兩段長(zhǎng)度都大于

1

3

的概率是多少？
（2）用剪刀剪成三段，使三段能構(gòu)成三角形的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）本題利用幾何概型求解．只須求出滿足：斷點(diǎn)與繩子兩端的距離都大于

1

3

的長(zhǎng)度，再將求得的長(zhǎng)度值與整個(gè)繩子長(zhǎng)度求比值即得．
（2）先設(shè)繩子其中兩段的長(zhǎng)度分別為x、y，分別表示出繩子隨機(jī)地折成3段的x，y的約束條件和3段構(gòu)成三角形的約束條件，再畫出約束條件表示的平面區(qū)域，利用面積測(cè)度即可求出構(gòu)成三角形的概率．

解答：解：（1）若想兩段長(zhǎng)短都大于

1

3

，則只能在兩個(gè)三等分點(diǎn)之間剪斷，則其概率為

1

3

．
（2）設(shè)三段長(zhǎng)分別為x，y，1-x-y，
則

0＜x＜1 0＜y＜1 0＜1-x-y＜1

⇒

0＜x＜1 0＜y＜1 0＜x+y＜1

其區(qū)域構(gòu)成三角形OAB（如圖14-4-5）．
若使剪成的三段構(gòu)成三角形，則x，y須滿足：

x+y＞1-x-y y+1-x-y＞x x+1-x-y＞y

⇒

x+y＞ 1 2 0＜x＜ 1 2 0＜y＜ 1 2

此時(shí)的區(qū)域?yàn)槿�角形CDE，故所求概率為

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要幾何概型、幾何概型的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何概型．