Question

若關(guān)于x的方程lg（-x²+mx-1）=lg（3-x）有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)得出不等式m＞x+

1

x

，0＜x＜3有解，m≥2；再根據(jù)函數(shù)y=m，與函數(shù)y=x+

4

x

-1，有2個(gè)交點(diǎn)，得出3＜m＜

10

3

，總結(jié)即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：∵關(guān)于x的方程lg（-x²+mx-1）=lg（3-x）有兩個(gè)不同的正數(shù)解，
x＜3，-x²+mx-1＞0，
∴m=x+

4

x

-1有兩個(gè)不同的正數(shù)解，且滿足x＜3，-x²+mx-1＞0，
即不等式m＞x+

1

x

，0＜x＜3有解，
∴m≥2
∵函數(shù)y=m，與函數(shù)y=x+

4

x

-1，有2個(gè)交點(diǎn)，


當(dāng)x=2時(shí)，x+

4

x

最小值為4，當(dāng)x=3時(shí)，x+

4

x

的值為3+

4

3

=

13

3

當(dāng)x=2時(shí)，x+

4

x

-1≥3，當(dāng)x=3時(shí)，x+

4

x

-1=

13

3

-1=

10

3

∴3＜m＜

10

3

，
綜上：實(shí)數(shù)m的取值范圍（3，

10

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，方程的根與函數(shù)圖象的交點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，難度較大．